Джузеппе Пеано


Джузеппе Пеано 
(1858-1932)
Джузеппе Пеано (італ.Giuseppe Пеано, 27 серпня 1858 - 20 квітень 1932) - італійський математик. Вніс внесок у математичну логіку, аксіоматику, філософію математики. Найбільше відомий як автор стандартної аксіоматизації натуральної арифметики- арифметики Пеано. 
Джузеппе Пеано зробив свій внесок в математичну логіку, аксіоматику, філософію математики. Автор Понад 200 книг і статей, він був одним із засновників математичної логіки і теорії множин. Пеано народився і виріс на фермі в Спінетти. По закінченню ліцею, вступив в Туринський університет в 1876 році, який закінчив в 1880 році з відзнакою. Працював там же (з 1890 року професор), піонер і пропагандист символічної логіки. Досліджував основні поняття і затвердження аналізу (питання про максимально широких умовах існування рішень диференціальних рівнянь, поняття похідної та інші). Займався формально-логічним обґрунтуванням математики. 
Пеано і його учні (Фано, Пієрія), втілюючи ідеї Лейбніца, виклав математику в точної символічній формі, без слів. Пеано один з творців сучасної математичної логіки. Його логічна теорія займає проміжне положення між алгебраїчними системами Ч. Пірса і Е. Шредера, з одного боку, і функціональним підходом Г. Фреге і П. Рассела, з іншого. Пеано належить одна з перших дедуктивних систем логіки висловлювань.Важливий внесок вніс Пеано в арифметику, створивши в 1891 році систему аксіом натурального ряду чисел, яка тепер називається системою аксіом Пеано, а також в геометрію, встановивши основи, на яких можна здійснити логічну побудову геометрії Евкліда.Пеано перший побудував безперервну жорданову криву, повністю заповнює квадрат (крива Пеано).У лінійної алгебри він першим дав аксіоматичне визначення п-мірного лінійного простору.У 1887 році Пеано ввів дуже загальне поняття векторнозначних функцій точкових множин і визначив для них поняття похідної та інтеграла, які при відповідних уточнень можуть розглядатися тепер як поняття похідної однієї функції і  Стилтьеса інтеграла Лебега.Пеано також створив міжнародну штучну мову латина синус Flexione, який був спрощеній формі латині, над яким працював в 1903-1904 роках.Найбільше Пеано відомий як автор стандартної аксиоматизации натуральної арифметики  Пеано. Ряд натуральних чисел досить тонка структура математики, яка набагато складніше, ніж більшість інших первинних понять, хоча воно і є найпростішим математичним поняттям.Натуральні числа виникли природним чином, можливо, ще в доісторичні часи при рахунку предметів, тому й натуральні, що ними позначалися реальні неподільні об'єкти. За часів Піфагора, в процесі філософського осмислення і переосмислення вихідного предметного змісту, арифметичне поняття числа піддалося глибокої теоретичної переробці. Філософська переробка натурального числа висловилася в тому, що воно було універсалізуватися як загальне поняття, воно було абсолютизувати як основа всього сущого і воно стало трактуватися не як зовнішня, а як внутрішня характеристика всіх речей і явищ.Кожен, хто навчався в школі, знає, що в геометрії є аксіоми. Повний список аксіом геометрії досить довгий і тому в деталях не вивчається, і згадуються лише ті аксіоми, які необхідні з точки зору методики навчання математики. А як справи з аксіомами арифметики? У багатьох з арифметикою асоціюється насамперед таблиця множення, але навряд чи хто-небудь коли-небудь доводив в шкільному курсі її правильність. Можна навіть поставити таке питання: Чому для натуральних чисел справедливі закони арифметичних дій? Так вже традиційно повелося, що в школі не говорять про те, що арифметика теж може бути побудована на основі аксіом, подібно до того, як це робиться в геометрії.Чому ж, маючи перед собою видатний зразок дедуктивного викладу геометрії, втілений ще в Засадах Евкліда, в якому, незважаючи на всі недоліки, математики приблизно до кінця XVIII століття бачили ідеал математичної строгості, вони не зробили спроб логічно обґрунтувати арифметику?По-перше, фундаментальна причина пов'язана з гносеологічної проблемою обгрунтування математики. Замість того щоб, почавши з цілих і раціональних чисел, перейти до ірраціональним і комплексним числам, а потім до алгебри і математичного аналізу, так вже історично склалося, що події в послідовному обгрунтуванні математики розвивалися в зворотному порядку. Після докази на початку минулого століття теорем Геделя про неповноту стало зрозуміло, що все це було зовсім не випадково. По-друге, можна вказати і на те, що до другої половини XIX століття обгрунтування основних тверджень і алгоритмів арифметики натуральних чисел, а також правил арифметичних дій можна було здійснити без її аксиоматизации.Математична строгість характеризує доказ з його формального боку, з точки зору коректності визначень, повноти посилок і незалежності прийнятих аксіом. Значну роль в досягненні математичної строгості основних законів арифметики зіграв якраз Джузеппе Пеано. Відомо, що він серйозно цікавився філософією, наприклад, в 1900 році він брав участь у Міжнародному філософському конгресі в Парижі. Навіть чисто математичні роботи Пеано завжди були присвячені принциповим філософським проблемам, що йшло врозріз із прагненням до спеціалізації наукового знання, характерним для того часу.Займаючись викладанням математики, Пеано виявив недостатність математичної строгості існуючих на той час арифметичних доказів, що вимагають удосконалення підстав математики. Аксіоматизації арифметики це щось протилежне метафізиці, так як особлива риса математичного знання полягає в тому, що в процесі свого становлення воно зливається з уже здобутими фактами і тим самим стає логічно рівнозначним цими фактами. Аксіоматичний підхід передбачає отримання всіляких наслідків з деякої системи аксіом за універсальними законами логіки. Тому він дозволяє вивчати всі моделі вихідної системи аксіом одночасно.
 Аксіоми Пеано є історично першою з систем аксіом для натуральних чисел. Аксіоми Пеано дозволили формалізувати арифметику. Після введення аксіом стали можливі докази багатьох властивостей натуральних і цілих чисел, а також використання цілих чисел для побудови формальних теорій раціональних і дійсних чисел. У аксіоматиці Пеано початкові поняття: безліч натуральних чисел (N позначається), одиниця (1 позначається), наступне число (таке для числа п п позначається). Пеано визначив натуральний ряд чисел наступними п'ятьма аксіомами:В N існує натуральне число 1, зване одиницею. За кожним натуральним числом п безпосередньо слід однозначно певне натуральне число п, зване наступне за п.Одиниця, тобто натуральне число 1, безпосередньо не слід ні за яким натуральним числом.Кожне натуральне число безпосередньо слід не більше ніж за одним натуральним числом.Будь-яка підмножина М з множини N, що містить одиницю, і разом з кожним числом з М, що містить наступне за ним число, збігається з безліччю N.Ці аксіоми виявилися простіше, ніж аксіоми геометрії. Просто вражає, що на такий, здавалося б, досить бідною на перший погляд основі можна побудувати всю арифметику. А саме визначити додавання, множення і інші арифметичні дії над числами, ввести негативні, раціональні та ірраціональні числа і основні правила дій з ними, хоча це може бути математично строго зроблено не так скоро.У аксіоматиці Пеано міститься вся арифметика, потенційно зширюється на безліч випадків, що підкоряються арифметичним правилам, спирається на наступне переконання математиків. Числа для них є самостійними ідеальними об'єктами і на всіх рівнях математики складають певну ієрархію строгості, засновану на ступеня глибини проникнення в їх властивості.
Оцінюючи зусилля, витрачені в перші десятиліття XX століття на аксіоматику, видатний німецький математик і філософ математики Герман Вейль в збірнику праць про філософію математики написав:"У системі математики є два оголених пункту, в яких вона, може бути, стикається зі сферою незбагненного. Це саме принцип побудови ряду натуральних чисел і поняття континууму".Іменем Пеано названий один з астероїдів. Ім'я Пеано носять такі математичні об'єкти:крива Пеано;похідна Пеано;арифметика Пеано;формула Тейлора Пеано.

Комментариев нет :

Отправить комментарий